水声信道是一个十分复杂的时-空-频变信道，其主要特征是复杂性、多变性、强多途和有限带宽。声传播损失和海水吸收损失使得水声信道带宽受到极大限制，海洋水声信道中多径效应的存在造成接收信号的畸变和严重的码间干扰，给水声通信系统的设计带来了巨大的困难，信道中的相位起伏使得载波恢复和相干解调变得十分困难。在常用的高速水声通信技术中，采用相位相干(PSK/QAM)调制要面对信道起伏时的相干解调问题，而且要适应收发端相对运动所带来的多普勒频移。OFDM作为一种可有效对抗码间干扰、频谱利用率高的高速传输系统，引起人们广泛关注。作为OFDM技术的关键之一，信道估计的好坏直接影响整个系统的性能。目前常用的信道估计算法主要有导频信道估计和盲信道估计两种。本文主要研究在具有导频插入情况下常用的OFDM信道估计方法，并基于相同的导频图案下，对不同的方法进行分析比较。
1 OFDM水声通信系统模型
根据水声信道的特点，以及所传数据的一些参数要求，给出了OFDM水声通信系统的模型，如图1所示。
这里有如下假设：已使用了循环前缀;信道冲击响应时间小于循环前缀;发送机和接收机完全同步;信道噪声是复的加性高斯白噪声。输入的比特序列经过分组，根据采用的调制方式，完成相应的调制映射，在通过串并变化和插入导频信息后，形成信息序X(k)，对X(k)进行IFFT，计算出OFDM已调信号的时域抽样序列，加上循环前缀CP(循环前缀可以使OFDM系统消除信号的多径时延造成符号问干扰(ISI)和载波间干扰(ICI)，再作D/A变换，得到OFDM已调信号的时域波形。接收端先对接收信号进行A/D变换，去掉循环前缀CP，得到OFDM已调信号的抽样序列，对该抽样序列作DFT得到原调制信息序列X(k)。
从接收方的角度看，当循环前缀的时间大于信道冲击响应时间，可以将与信道线性卷积转化为圆周卷积，可以得出OFDM系统的表达式：
其中，Y(k)长度为N的接收序列，X(k)是长度为N的发送序列，h(n)为信道冲击响应(不足N长的部分添零补足)，ω(n)为信道噪声，H(k)为信道的频域响应。
2 OFDM水声通信信道估计
OFDM信道估计方法大致分为盲信道估计和非盲(基于导频的)信道估计2类，盲信道估计不需要传送导频信息，因此可以提高有效数据的传送效率，缺点是需要收集大量的数据作为运算的依据，运算量大，因此在时变信道中较难实现。另一类是基于导频方式的估计，此类信道估计常用的方法有两种：基于导频信道的估计和基于导频符号的估计。基于导频信道的方法是在系统中设置专用导频信道来发送导频信号。由于OFDM系统具有时频二维结构，因此采用导频符号辅助信道估计更加灵活。所谓的基于导频符号的信道估计是指在发送端的信号中的某些位置插入一些接收端已知的符号或序列，接收端根据这些信号或序列受传输衰落影响的程度利用某些算法来估计信道的衰落性能。这一技术叫做导频信号辅助调制(PSAM)。
基于导频OFDM的信道估计算法的基本过程是：在发送端适当位置插入导频，接收端利用导频恢复出导频位置的信道信息，然后利用某种处理手段(如内插，滤波，变换等)获得所有时段的信道信息。这里涉及到3个主要问题，这也是目前OFDM的非盲估计算法研究的3个方向：发送端导频的选择与插入;接收端导频位置信道信息获取的方式;通过导频位置获取的信道信息如何较好地恢复出所有时刻信道的信息。
由式(1)知：
从Y(k)抽取导频信号Yp(k)，而发送的导频信号Xp(k)是知的，因此可得到导频信号位置的信道响应估计值Hp(k)：
在得到导频信号位置的信道传输函数的估计值Hp(k)后，数据位置的信道响应可通过相邻导频信号信道响应内插获得，信道估计的总体框架如图2所示。
在接收端，输入倍号经过FFT变换后得到数据Y(k)，从Y(k)中抽取导频位置的数据Yp(k)，根据已知的导频数据Xp(k)，得到导频位置的信道响应估计值Hp(k)，再通过时频方向上的内插，得到所有位置的信道响应的估计值H(k)。
2.1 导频插入图样的选取
基于导频符号的信道估计算法中，导频插入方案可以分为2类：块状导频分布和梳状导频分布。导频块状分布的OFDM系统中，将连续多个OFDM符号分成组，每组中的第一个OFDM符号发送导频信号，其余的OFDM符号传输数据信息：梳状导频的系统中，将N个子信道均匀地分为M组，在每一组的第一个子载波中传输导频符号，其余的M-1个子载波传输数据信息。两种插入方案如图3和图4所示。其中，黑色代表导频符号，白色代表数据符号。
块状导频插入方式往往只在开始发送一些训练符号，估计出导频符号处的信道信息将作为以后所有时刻的信道信息，直到下一个含有导频信息的符号到来，这就要求信道在相当长的时间内变化较小，甚至不变，即所谓准静止信道、慢衰落信道(不考虑或者只考虑较小的多普勒频移)。由此可见，块状导频方式较适合于恒参信道、WLAN信道等。而梳状导频分布在不同的OFDM符号中，因此能够较好地跟踪不同符号下信道状态的变化，特别是在信道快变化的条件下这种优势更加明显。如果信道中有较大的多普勒频移，信道变化较快，则不能选用块状导频插入方式，而应在整个信号的时频空间内插入梳状导频信号。
由于水声通信信道具有频率选择性和时变特性，也就是说实际OFDM系统中信道的传输特性在时域和频域内都是时变的，即使在传输一帧OFMD数据时间内，信道特性也会发生明显的变化，因此应该采用基于间隔式导频插入，即梳状导频的信道估计方法，跟踪不同符号下信道状态的变化，对信道做动态估计。
2.2 基于梳状导频的信道估计算法
OFDM系统可以被视为多个高斯信道，如图5所示。
把式(2)写成矩阵形式：
如果信道时域矢量h是高斯的并且与信道噪声W不相关，则对h的LS估计可表示为：
MMSE信道估计器虽然在实际应用当中的性能较好，但是也存在一定的弱点，即他计算相当复杂，并依赖于信道的统计特性，这样就阻碍了他的应用。文献[2]给出了MMSE估计器和LS估计器之间的关系，即LMMSE估计器：
LMMSE算法可以降低计算复杂度，但仍需对阶数等于子载波个数的复数矩阵求逆，随着子载波数的增加，其计算量十分可观，因此在实际应用中，LMMSE算法往往受到限制。采用 SVD(奇异值分解)方法可以对LMMSE算法进一步简化，即所谓的LRLMMSE。具体方法如下：
对频域信道向量自协方差矩阵RHH进行奇异值分解，可以得到：
式中U是由归一化正交向量组成的矩阵，A是一个对角矩阵，他的对角线包含了RHH的奇异值λ0≥λ1≥…≥λN-1≥0，将式(9)代入式(8)，可以得到基于奇异值分解的信道估计器为：
式中，△J为△的左上角J×J矩阵。上式可作为式(10)的J阶近似，改变J的大小可以在复杂度与性能之间得到某种折衷。
2.3 基于内插的完整信道响应估计
基于内插的完整信道估计是在获得导频所在位置的信道响应的基础上，通过某种一维或二维的内插方式获得对完整信道响应的估计。即导频所处位置的信道响应为Hp(k，l)，他与信道完整响应H(k，l)之间的关系为：
Hp(k，l)可以通过第2.2节中介绍的方法估计得到。内插算法主要有：线性内插、高斯内插、Cubic内插和拉格朗日内插等算法，本文只介绍线性内插，其他内插算法可参考文献[3]。
线性内插是最简单也是最传统的内插方法之一，他利用两个导频信号来进行内插估计。
时间方向的线性内插的公式为：
3 仿真结果及分析
图6给出了梳状导频下的信道估计仿真结果，导频位置信道估计分别采用LS，LMMSE，LRLMMSE估计准则，基于内插的完整信道响应估计均采用线性内插方式。仿真的多径信道为5径，功率延迟谱服从复指数分布：exp(-t/τrms)，多径扩散长度的统计平均值：τrms=(1/4)*CP，其最大多径时延τmax=4*τrms;多普勒频率偏移为2 Hz;信号中心频率为7.5 kHz，带宽为3 kHz;子载波数为128，CP长度为16，采用16QAM调制方式，导频插人间隔为4。
从仿真结果来看，LMMSE算法性能较好，LRLMMSE算法次之，性能最差的是LS算法。但从复杂角度看，LS估计器在实现时仅需要一次求逆和一次乘法，不需要很复杂的计算;而LMMSE估计器需要知道信道的相关特性和噪声方差，这些参数虽然可以通过估计得到，但会增加系统的复杂性;LRLMMSE则在复杂度与性能之间得到某种折衷。
4 结 语
本文研究了OFDM水声通信系统中，基于导频符号的信道估计算法，并对LS(最小平方误差)、LMMSE(线性最小均方误差)和LRLMMSE(低秩线性最小均方误差)算法进行了仿真比较，结果表明系统性能的提高是以系统的复杂度为代价的。所以，在实际应用中，可以根据实际系统的信道环境来选择适当的方法，以兼顾系统的性能和复杂度。
