小波分析是最近十几年来发展起来的一种新的时频分析方法。它克服了短时傅里叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力。小波包分析是小波分析的延伸，其基本思想是让信息能量集中，在细节中寻找有序性，把其中的规律筛选出来，为信号提供一种更加精细的分析方法。它将频带进行多层次划分，对多分辨分析没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高时一频分辨率。我们可以根据小波包的分解特性，利用小波包分解技术滤除干扰信号。
1 小波包分析基本原理
1.1 小波变换
信号x(t)的连续小波变换定义为：
这个公式相当于信号x(t)通过了一个传递函数为
(ω)的有限冲激带通滤波器(FIR)，选择不同的m值，相当于信号通过了不同的带通滤波器，这样就可以把不同频带的信号分离开来。
利用滤波器组实现小波变换WT的过程分析如下：被分析信号通过镜像滤波器后，信号频带被划分为低频和高频两个频带，其中的低频信号通过向下采样后，通过下一次镜像滤波器分解，再一次被划分，不断重复这个过程，通过滤波器组就能够把信号的频带划分为(ω／2j，ω／2j+1)，分解过程可以用图1表示。
图1中，Ai，Di分别表示信号的近似和细节，LPi，HPi分别表示不同尺度的低、高通滤波器。
1.2 小波包变换
小波包变换建立在小波变换的基础上，其定义为：
公式中的h0和h1相当于长度为2N的低通和高通滤波器。
利用滤波器组实现小波包变换WPT的过程类似于WT变换，两者不同之处在于WT滤波器组是对低频频带不断二进划分，而WPT是同时对高频和低频频带做二进划分，最后整个频带被划分成均匀的频带。
分解过程也可以用小波包分解树来表示，如图2所示。
图2中，LPi，HPi，L'Pi，H'Pi分别表示不同尺度、不同分支的低、高通滤波器。在这里信号S可以表示为很多种分解方式，比如：
实际的处理过程一般是根据需要解决的问题和信号的能量分布，来决定进一步分解的策略。小波包的分解方式太多，对于一维信号，每次分解把原系数分为两组系数，那么对于长度为N的信号，如果分解到L层，那么共有α=2L种分解方式。每种分解方式对应一个小波树，如果引入某种判别方法，从多个小波树挑出符合一定标准的最优小波树，运算量也可以大幅度降低。指导小波包分解的特征函数主要是信息的熵。熵是度量信息规律性的量，主要的几种熵有Shannon熵、P阶标准熵、对数能量熵、阈值熵、SURE熵，其定义就不在此详述了。
2 仿真分析实验
在Matlab环境下，利用Simulink工具箱将语音信号bluetooth.wav进行脉冲编码调制ADPCM，再经过BPSK调制被周期为64的m序列直接相乘进行扩频，扩频后信号S1(t)的带宽为896 kHz；单音频噪声S2(t)的载频为45 kHz；信噪比为-15 dB，两信号叠加得到W(t)，W(t)=S1(t)+S2(t)，如图3所示。
语音扩频信号混有单音频噪声前后的功率谱密度PSD如图4所示，受干扰前后的时域波形如图5所示。
混有单音频噪声的语音扩频序列经过解扩、解调处理后的误码率为3.92e-1，主观上聆听完全无法辨析语音内容。下面利用小波包分解技术去除单音频噪声，选取Shannon熵，依据原理公式(3)，(4)以及图2所示的小波树分解框图，在Matlab仿真环境中用wpdencmp函数，采用“db43”小波包作4层分解，取全局域值5.035，应用软判决准则，提取扩频序列de.mat。由于小波树能够对高低频段均进行频带划分，因此能更有效地锁定窄带干扰分量。
将de.mat数据解扩、解调，其误码率为1.429e-4，提高了3个数量级，性能大大改善。将除噪后的数字音频信号进行ADPCM解码，得到的时域图如7所示，再次进行聆听，能够较清晰地分辨语音内容，只存在极少数的背景噪音。如果还需进一步增强语音信息，可以采用信号特征提取等处理方法去除其他噪声，本文不再详述。
为了进一步突出小波包除噪效果，我们采用同样具有时域局部化特点的短时傅里叶变换方法代入实验程序，其除噪后的语音时域波形图如图8所示。
分别将图7、图8与语音原始信号的时域波形图相比，图8损失了较多的语音细节，从主观聆听效果来看，也没有小波除噪后的还原效果好。短时傅里叶变换虽能描述某一局部时间段上的频率信息，但由于整个过程只加了相同的窗函数，所以它不适应信号频率高低变化的不同要求。
3 结 语
本文讨论了基于小波包分析技术去除语音扩频信号单音频干扰的原理和应用。小波包变换的任意多尺度分解特性和良好的时、频域局部化特性可被用于迅速跟踪和确定信号分量的时、频域位置，尤其适用于扩频信号混有窄带干扰的情况。仿真实验结果证明利用小波包分析能够获得满意除噪效果。
作者：刘燕川，韩朝晖
(1．北京交通大学 计算机与信息技术学院 北京 100044；2．61226部队 北京 100079)
来源：《现代电子技术》
